式の展開と因数分解
積を和の形に解き放つ「展開」と、和を積の形に凝縮する「因数分解」。
この可逆的な操作は、数学における建築と解体である。
長方形の面積モデルから導かれる、代数学の美しい対称性を紐解く。
第1章：面積モデルと可逆性
式の展開（Expansion）と因数分解（Factorization）は、コインの裏表のような関係にある。展開とは「括弧を外してバラバラにすること（積→和）」であり、因数分解とは「共通の要素で括ってまとめること（和→積）」である。
この抽象的な操作を理解する鍵は「長方形の面積」にある。縦が $(x+a)$、横が $(x+b)$ の長方形の面積をどう計算するか？ 全体を一つの大きな長方形として見れば $(x+a)(x+b)$ だが、分割された4つの小部屋の合計として見れば $x^2 + ax + bx + ab$ となる。この二つの視点が等しいという事実こそが、展開公式の本質なのである。
面積図による展開の可視化
全体の面積 $(x+a)(x+b)$ は、4つの部分面積の和
$x^2 + ax + bx + ab$ に等しい。
因数分解：素数への回帰
因数分解は、数の世界における「素因数分解」の多項式バージョンである。 $12$ を $2 \times 2 \times 3$ に分解するように、$x^2 - 4$ を $(x+2)(x-2)$ に分解する。 これにより、方程式の解を見つけたり、式の性質を分析したりすることが容易になる。 「これ以上分解できない状態（既約多項式）」まで要素還元していくプロセスは、複雑な現象をシンプルな原理に分解する科学的思考そのものである。
因数分解は英語で "Factorization" という。"Factor" は「要因、要素」を意味し、工場（Factory）と同じ語源を持つ。「結果（積）」を作るための「材料（因数）」に分解するというニュアンスが含まれている。ちなみに、式を展開することは "Expansion"（拡張、展開）と呼ぶ。
実践：乗法公式のマスター
すべての展開・因数分解の基本となるのが「乗法公式」である。これらは暗記するものではなく、式の「形（パターン）」として視覚的に認識すべきものである。
1 平方の公式：$(a \pm b)^2$
「前の2乗、前後掛けて2倍、後ろの2乗」。 因数分解の際は、「両端が平方数で、真ん中がその積の2倍」になっているかを確認する。
2 和と差の積：$(a+b)(a-b)$
最も美しい公式。「2乗引く2乗」の形を見たら、即座に「和と差の積」に因数分解できる。 計算の工夫（例：$102 \times 98 = (100+2)(100-2)$）でも頻出する。
3 和と積の公式：$(x+a)(x+b)$
因数分解の基本戦略。「掛けて定数項、足して $x$ の係数」になる2つの数を見つけるパズルである。
$acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)$ のような複雑な因数分解を行う際、日本では「たすき掛け」という図式的手法が教えられる。 係数をクロス（たすき）状に掛けて和を確認する方法だが、これは江戸時代の和算には存在せず、明治時代以降に西洋数学が導入された際、計算を効率化するために日本で独自に工夫・定着した教育技法の一つと言われている。
第2章：アル＝フワーリズミーと幾何学的代数
式の展開や因数分解のルーツは、古代の「幾何学的代数」にある。記号が発明される遥か昔、数学者たちは図形を使ってこれらを証明していた。
アル＝フワーリズミーの「平方完成」
9世紀の数学者アル＝フワーリズミーは、2次方程式 $x^2 + 10x = 39$ を解くために、幾何学的なアプローチをとった。 彼は $x^2$ の正方形に、$10x$ を2分割した長方形を継ぎ足し、さらに小さな正方形（$5^2$）を加えることで、全体を完全な正方形（平方）に作り変えた。 これが現代の「平方完成」による因数分解の起源であり、代数学（Algebra）という言葉も彼の著書『アル＝ジャブル』に由来する。
ユークリッド原論における展開公式
紀元前300年頃のユークリッド『原論』第2巻には、現代の $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ に相当する命題が記述されている。 ただし、当時は数式ではなく「ある線分を任意に分割したとき、全体上の正方形は...」という長い文章と図形で説明されていた。 数式という「記号の操作」だけで計算できるようになったのは、16世紀のヴィエトや17世紀のデカルト以降のことであり、それまでは展開も因数分解も、常に図形をイメージする高度な作業だったのだ。
第3章：代数学の基本定理への道
因数分解は単なる式変形ではない。それは方程式の「解」を見つけるための最強のツールである。
因数分解と方程式の解
もし多項式 $P(x)$ が $(x-a)(x-b) = 0$ と因数分解できたなら、その解は即座に $x=a, x=b$ であると分かる。 なぜなら、「掛けてゼロになるなら、どちらかがゼロでなければならない」という論理が働くからだ。 逆に言えば、解が分かれば因数分解ができる（因数定理）。因数分解と方程式の解は、表裏一体の関係にある。
一意分解整域（UFD）
整数が素因数分解によって一意に（ただ一通りに）分解できるように、多項式もまた「既約多項式」の積として一意に分解できる。 この性質を持つ代数系を「一意分解整域（Unique Factorization Domain）」と呼ぶ。 私たちが $x^2-1$ を $(x+1)(x-1)$ 以外に分解できないのは、数学の深い構造的秩序によるものなのだ。
実数の範囲では $x^2 + 1$ はこれ以上因数分解できない。しかし、数の世界を「複素数」まで広げると、$x^2 + 1 = (x+i)(x-i)$ と分解できる（$i$ は虚数単位）。 「代数学の基本定理」によれば、複素数の範囲であれば、どのような $n$ 次多項式も必ず $n$ 個の1次式の積に因数分解できることが保証されている。
第4章：現代技術への応用
式の展開と因数分解の概念は、コンピュータサイエンスやセキュリティの分野でも重要な役割を果たしている。
暗号技術と巨大数の分解
現代のインターネット通信を守る「RSA暗号」は、「2つの巨大な素数を掛けて合成数を作る（展開に相当）のは簡単だが、その合成数を元の素数に戻す（因数分解）のは極めて困難である」という性質を利用している。 多項式の因数分解とは少し異なるが、「分解の困難さ」をセキュリティの盾にしている点は共通している。
誤り訂正符号とCRC
デジタルデータの通信において、ノイズによるデータの破損を検知するために「CRC（巡回冗長検査）」が使われる。 これはデータを「多項式」と見なし、特定の生成多項式で割り算を行った余りをチェックサムとして付加する技術である。 ここでも多項式の演算や因数分解的な理論が、情報の正確な伝達を支えている。
映画やゲームの滑らかな曲線を表現する「ベジェ曲線」や「スプライン曲線」は、パラメータ $t$ を用いた多項式で定義される。 これらの曲線をコンピュータ上で高速に描画・変形する際、多項式の展開や因数分解（ホーナー法などによる計算の効率化）のアルゴリズムが駆使されている。
形の変容と保存
展開して広げ、因数分解して畳む。
数式は形を変えても、その本質的な価値（等価性）は変わらない。
この自在な変形能力こそが、代数学の持つ最大の力であり、
私たちが複雑な問題を解きほぐすための最強の武器なのである。